(495)510-98-15
Меню
Главная »  Промышленная электроника 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166

== х. Аналогично доказывается и тождество 4. Для доказат.. тождества 5 раскроем скобки в левой части: (х + у)(х + z) t + xz + ху + yz = х + ху + yz = х + yz.

К основным законам алгебры логики относятся законы версии для логических сложения и жения (теоремы де Моргана):

x+y-t-z = x- y- z, /

Ч

т. е. инверсия суммы переменных есть произведение их инвер'

х -+ у + z ,

У г

т. е. инверсия произведения переменных есть сумма их инверсий?

Справедливость соотношений (3.60) и (3.60а) для двух перемей подтверждает табл. 3.1. Щ

таблица-

к

У

х + у

х у

х+Ч

* У

х у

В общем случае теоремы де Моргана могут быть представлены* виде, предложенном Шенноном:

F (х, у, г, ..., +, ) = F (х, у, z, ...

(3.6

Теорема в таком виде утверждает, что инверсия любой функци получается заменой каждой переменной ее инверсией и одновремей взаимной заменой символов сложения и умножения. При практическом применении теоремы необходимо строго соблюдать группировки: членов, выраженные как явными, так и неявными скобками. В качестве примера определим инверсию функции F = ху 4- ху. По правилу (3.61) находим

F = ху 4- ху = (х 4- у) (х + у )

Понятия инверсии и инверсного преобразования играют важную роль при синтезе схем. Использование инверсии на определенном этапе синтеза, в частности, приводит иногда к существенному упрощению функции, а следовательно, и средств ее реализации.

Логические функции

Логическая функция может быть записана аналитически различными сочетаниями операций сложения и умножения переменных. Однако с точки зрения представления логической функции и после-



синтеза логической схемы наиболее удобны формы записи, дуюй ч функция выражается либо в виде суммы произ-яР11 1 н и й переменных, либо в виде произведения их

6 6 м

с^Яапись логической функции в виде суммы произведений перемен- азывают дизъюнктивной нормальной фор-

х + уг + хуг 4- хуг,

запись функции в виде произведения сумм - конъюнктив-н о й нормаль н'ой формой (КНФ):

х (х + у) (у + г) (х + у + г).

Инверсия любой функции, записанной в дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форме, по правилу (3.61) дает замену записи на конъюнктивную (дизъюнктивную) нормальную форму. Например, инверсия функции

F = х + уг 4- хуг

имеет вид

F = x (у + г)(х+ у+ 7).

Логическую функцию, заданную любым аналитическим выражением, можно преобразовать к ДНФ или КНФ, пользуясь правилами алгебры логики. Для каждой логической функции может существовать несколько равносильных дизъюнктивных и конъюнктивных форм.

Вместе с тем имеется только один вид ДНФ и КНФ, в которых функция может быть записана единственным образом (совершенные нормальные форм ы). В совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) каждое входящее слагаемое включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых слагаемых. В совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ) каждый входящий сомножитель включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых сомножителей.

Логическая функция наиболее наглядно и полно представляется так называемой таблицей соответствия или истинности, в которой для каждой комбинации значений переменных Указывается значение функции. Таким образом, таблица истинности определяет алгоритм работы создаваемой цифровой схемы. От табличного представления функции переходят к аналитической записи ее в СДНФ или СКНФ.

Пусть в качестве примера функция F задана в виде табл. 3.2. Для комбинаций переменных 2, 7, 8 функция F истинна (т. е. F - 1), что означает для указанных комбинаций равенство единице следующих произведений: хуг = 1, хуг = 1 и хуг - 1. Комбинации переменных.



при которых функция истинна, называют конституент единицы или минтермами. Представление логиче! функции в виде суммы минтермов определяет ее СДНФ, т. е. в да случае

F - х у г -4- хуг + хуг . (3

Функция, определяемая таблицей истинности, может быть пр ставлена не только ее единичными, но и нулевыми значениями. ~~ на основании табл. 3.2 рассматриваемая функция ложна (F - 0 й F = 1), если истинно каждое из произведений

хуг, х уг, хуг, ху г хуг, т. е. F=xyz-\-xyz + хуг -+ ху г + хуг.

(3.6,

Воспользовавшись законом инверсии, приходим к записи функц в СКНФ:

F = (х + у + г) (х + у + г) (х + у + г) (х + у + г) (х + у + г). (3.6

Каждый сомножитель в соотношении (3.64) состоит из суммы пере менных, для которых функция обращается в нуль в соответствии % таблицей истинности. Такие суммы называют к о н с т и т у е н т а-м и нуля или ма кстермами. Таким образом, произведение* макстермов определяет СКНФ функции. *;

Минимизация функции

Минимизация (упрощение формы записи) функции является важной операцией при синтезе логической схемы, так как благодаря предварительно проведенной минимизации схема реализуется с наименьшим числом элементов.

Выявить и устранить избыточность в записи функции можно путем ее преобразований с использованием аксиом, законов, тождеств и теорем алгебры логики. Однако такие преобразования требуют громоздких выкладок и связаны с большой затратой времени.

Современная алгебра логики располагает рядом приемов, разработанных на основе ее правил, позволяющих производить минимиза-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166



© 2018 ООО "Стрим-Лазер": Лазерная гравировка.
Все права нотариально заверены. Копирование запрещено.